I) GENERALITÀ.
Il problema dei « quattro punti inaccessibili » — altrimenti detto « problema di Marek » — riassume in se anche quelli di « Snellius » e di « Hansen ». Infatti, con i simboli di fig. 1, si vede chiaramente come si ritrovi il problema di Snellius allorché si faccia coincidere B con C e P con Q; e comesi ricada nel caso del problema dei due punti inaccessibili nell'ipotesi che A =: B e C == D. (Nel caso che sia solo B=C, si avrà il problema di Pothenot ampliato). È universalmente nota la soluzione classica di Burckhardt per il problema di Snellius, come del resto la sua estensione alla risoluzione di quello di Hansen. Quest'ultimo poi può essere facilmente risolto col procedimento detto « della base fittizia », concettual mente assai semplice. Il caso dei « quattro punti inaccessibili » porta ad una soluzione attraverso la considerazione di alcuni triangoli e delle coordinate di due punti ausiliari, che, se non è difficile, è però abbastanza lunga. Sono note diverse soluzioni rapide e co munque adatte al calcolo con la macchina e con le tavole dei valori naturali delle funzioni trigonometriche, dei problemi di Hansen e Snellius. Per quest’ultimo poi è stata pubblica ta sul n. 3, 1956 del presente Bollettino una soluzione dello scrivente, ed è stata pure ricor data — dalla Redazione — la soluzione proposta da V. Galkiewicz, certamente assai rapida.
Le formule che seguono, ricavate in maniera alquanto semplice, si prestano alla so luzione — seguendo un unico criterio generale — di tutta la serie dei problemi ricordati. Esse sono convenienti nel caso del « Marek » abbreviando il calcolo consuetudinario; assai convenienti nel caso del problema di Hansen, per la loro successiva semplificazione. Meno utile risulta la loro applicazione per la soluzione dello « Snellius », dato che esistono altri metodi (tra cui quelli ricordati) certamente più rapidi.
Tutte le formule, comunque, sono state ricavate con i procedimenti insegnati dalla geometria analitica, e con l’ausilio delle coordinate (calcolate) dei punti KR ed S, i quali godono delia proprietà di essere allineati con i punti P e 0, oltre a quella di appartenere alle circonferenze risolventi graficamente tutt'e tre i problemi. 2) SOLUZIONE CON LA MACCHINA CALCOLATRICE DEL PROBLEMA DI MAREK.
Elementi assegnati, o comunque noti: coordinate a Xi ; Ya , Xg ; Yp, Xe, Ye, Xp ; Ynb ; A A A A angoli: APB = x; APQ = 8; POC = Y; COD = ò;
Per determinare le coordinate dei punti incogniti P e Q si procederà come segue: A) Calcoli preliminari: |
Riferire le coordinate dei punti 8, C, D, al sistema cartesiano traslato in À: xg= Xp-— Xa;j vB = Yps— Ya;ecc., essendo uguali a zero 44 e v4 quindi trovare gli angoli di direzione i (4B) = arctg (xp: vs) (CD) = arc tg (ap — xc): (Yo — vc)
E) Determinazioni delle coordinate parziali dei punti Pe Q: \ vp = (Ar — MsyR);( HW — 7g) | vo = (ar— 4c —MsyrR + Mave ): (1927 — Ms) Î Xp = W Yp %o = Xc + Ma, (Vo —Vc) F) Determinazione delle coordinate totali dei punti Pe Q: Xp=XA4 + xp; Yp = Ya + yp;i Xg = Xa + %o; Yo = Ya + yo
La giustificazione delle formule proposte è assai semplice.
I valori contraddistinti con la lettera wm seguita dagli indici I, 2, 3, 4, sono rispettiva mente i coefficienti angolari delle rette A, BR, CS. DS m; ed m, sono i coefficienti delle rette AP e QC, ricavati attraverso la formula che fornisce l'angolo di due rette note: ieg=(m_-mj):(1t+mm,) da cui si trae #2;, sostituendo al posto di 2 generico, il coefficiente angolare #4 della retta RS,ed al posto di «ig g» i valori n, ed #,, rispettivamente tangenti degli angoli (x + B)e vy.
Inutile dire come le coordinate dei punti P e Q siano poi facilmente ricavabili, note le equazioni delle rette RS, AP e CO, e come — essendo esse riferite ad A in cui si è tra slata l'origine degli assi — per riferirle ad Q debbano essere sommate alle coordinate di A. 3) SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI HANSEN CON LA MACCHINA CALCOLATRICE,
Elementi assegnati o comunque noti:
A A A A coordinate Xa, Ya; X8, YB; angoli: BPO = a; APO = 8,; POB = xy; POA = By
Le coordinate dei due punti incogniti P, Q, si determinano come segue:
A) Calcoli preliminari > (AB) = arctg (ag — 4x4): (vg — ya); sen (AB) = t; cos (AB) = AB = (xp — X4): t= (Ve — VA): U B) Ricerca di valori naturali sulle tavole trigonometriche : mi = — colga,; Mo = — coigh,; Mg = colpa, my = cotgps C) Calcolo di coefficienti con la macchina : a=M,— My, b= mM — My; ng = (a m—-bm): (a— d) c= AB (n, — Ms): a; mg = (0, My + 1): (Mo — Mi); mi = (0, nu + 1); (14 m5) D) Calcolo delle coordinate parziali dei punti Pe0Q: ( yp= Cc: (14 — Mi) Vo= cc: (Mm — 13) xp = MW * V'p X'g= Mi * Vo E) Calcolo delle coordinate totali der punti Pe Q: Xp= Xu +xptT_-vpu; | Xg= Xa +XQuT—- you; 0 Yp= Ya +XpUut y'pl; Yo= Ya +XQUut Voti;
In questo caso è da notare come sia stato possibile abbreviare il calcolo, trascurando di trovare in forma esplicita le coordinate di R ed S (però implicitamente presenti nel calcolo) e ruotando (oltreché traslare) gli assi cartesiani in modo da far coincidere il se miasse delle ascisse positive con la base nota AB.
Rispetto al nuovo sistema di riferimento, i valori « #2 » hanno ancora il significato del caso precedente: sono i coefficienti angolari delle rette AR, BR, AS, BS, RS, AP, AQ. ve di - 78 | 4 LT / # zz Mpa | È 7 . na sd Y 277 / \ È Z7 / È 7 \ e gp ' d 2 /\K ug. 27 x» 2 9, Ì . e 2 Ì aa di 27 AUX | + | Sal | su il AN | rr _.) | | I (VA \' ‘Q Ì | . Dr i \_ y -a)T ee IT Sa } (p: — TT > V/Y__ fa TRA. £ . “ty Fic. 2.
Graficamente il problema è già risolto al punto D): infatti è già ivi possibile indivi duare sul grafico i punti P e Q. Volendo le coordinate riferite al sistema assegnato, con le note formule riportate al punto E) si completa la soluzione. 4) SOLUZIONE CON LA MACCHINA CALCOLATRICE DEL PROBLEMA DI SNELLIUS. |
Elementi assegnati o comunque noti:
A A coordinate: X4, Ya, X8, YB, Xc, Yc, angoli: APB = x; BPC = B; Per determinare le coordinate incognite del punto P si procede come segue:
D) Calcolo con la macchina di coefficienti : ns, = (as — «R): (Vs_—yR); #5 = (+ wa): (1 #4 #1) E) Calcolo delle coordinate parziali del punto P : O vp = (fr W; YR): (124 — Mg) yp = 7% YP
F) Calcolo delle coordinate totali del punto P : Xp= Xat 4p; Yp= Ya +9p;
Nulla dl particolare da aggiungere a quanto detto dei due casi precedenti: lo sviluppo del calcolo è evidente, con l'ausilio della fig. 3. Ricercate ed ottenute le coordinate di R ed $S, con i coefficienti angolari delle rette A, BR; BS, CS (rispettivamente w1,, 7%, 773, m.) si ottiene quello della RS, Quindi attraverso ,, il coefficiente angolare 12, della retta AP che permette di ricavare le coordinate di P.
Per il controllo (anche nei casi precedenti) è possibile scrivere semplici formule ana loghe a quelle fornite, considerando la retta BP o CP, nel caso presente; le rette BP e BQ per Hansen; e BP e DQ per Marek.
Collegamento di due stazioni celerimetriche non visibili fra di loro e distanti più della normale battuta di stadia GEOM. ATTILIO SELVINI È noto come il collegamento di due stazioni celerimetriche che distino più della nor male battuta di stadia (ma meno del doppio) e che non siano visibili fra di loro, venga effettuato col metodo del Porro; metodo che è concettualmente assai semplice, ma che porta a calcoli dallo sviluppo piuttosto lungo. Vale la pena, per meglio inquadrare quanto sto per dire, di riassumere qui di seguito le operazioni necessarie, secondo Ignazio Porro, per il collegamento in oggetto.
Rilevati i numeri generatori di due punti P, Q, scelti in modo da essere visibili da entrambe le stazioni da collegare, dalla prima di queste due, si trasporta lo strumento (tacheometro od autoriduttore) sulla seconda. Di qui, dopo aver nuovamente battuti i due punti prescelti, si continua il rilevamento dei punti di dettaglio. Le operazioni da eseguirsi a tavolino, per avere i dati necessari al collegamento (coordinate della stazione S, rispetto al sistema di riferimento, o semplicemente rispetto ad $;, e correzione d’orien tamento è da apportare a tutti gli angoli di direzione misurati da Ss»), consistono in ciò.
Con riferimento alla figura, si calcolano le distanze S,P ed S,;0, quindi le coordinate parziali dei due punti ausiliari: Xp, Yp; 2p; ed 49, Yo, 29. Si trova poi, attraverso le prime due di dette coordinate, il valore dell’azimut (P0).
Con analogo procedimento si calcolano le coordinate di P e Q, riferite però al sistema d’assi avente il semiasse positivo delle ordinate, orientato secondo la direzione del dia metro 0-200° del cerchio azimutale dello strumento in S,. Con tali coordinate si calcola il valore dell’azimut (P0)°, riferito alla nuova direzione d’orientamento. La differenza
tra (PO) e (PO)° fornisce il valore della correzione da apportare agli angoli di direzione misurati in S,. Effettuata tale operazione per le direzioni S.P ed $,0, si ricalcolano le coordinate di P e Q rispetto ad 4; indicandole con 4° p, y'p... eccetera, si otterranno le coordinate di S, riferite ad $,, con le somme algebriche:
XS, = XP — X°pj Vsì = YP_ VP **. È chiaro che le quote (z5,, 22, ecc.) sono indipendenti dall’orientamento in S, per cui il collegamento altimetrico si ottiene più rapidamente. 1 N ng I YX 7” | me \ p j(r@) os P) K 8, . (5,0) | (Pa)° 5, w / Su | Na I n Nu Y Î f N < / x DI NQ —_ $ 7 I / SA N 2° {/ x SL e A da. | / 6, NI )) I I, d (S,0)° ($,9)° QU — \ FIG. I. Per quanto riguarda il collegamento planimetrico, esso può ottenersi in maniera assai più rapida della precedente, con le formule ed il procedimento che seguono. Dapprima si calcolano le coordinate di P e Q rispetto ad S,, come nel caso che è stato esposto sopra. Chiamato con 0, l’azimut incognito del lato PS,, esso potrà facilmente aversi con la equazione: n + y mi — 19 I) #0 = 7
ove si è posto: m= d, cosa—d,; p=d,sena;q=4%p —%g — pjvr=%p +9 +? noto 0,, si otterrà subito la correzione d’orientamento: è = do Lta_-(S2)° ove i simboli sono quelli della figura. Le coordinate di S, rispetto ad $, sono quindi subito calcolabili: Xs, = %p + d, sen 0; Ys,= VP + d, cos 0; Per controllo si farà: 0, = 0, — a; e quindi si ricalcoleranno le coordinate di S, attraverso ia distanza d.. Il procedimento suggerito viene giustificato con la seguente esposizione. Sempre con i simboli della figura, risulta chiara la relazione 0, = 0,--- «. Assumendo come incognita 0,, si avrà il sistema: . | asg=4p +.d, sen 0, | x5,=%0+d sen (9,— a) per cui, uguagliati i secondi membri, e sviluppato sen (8, — a), si ottiene l'equazione: d, sen a cos 0, + (d, — 4, cos a) sen 0, +4p — 4g = 0 e tenendo conto delle posizioni precedenti # e f ed essendo: zig Va 0 1-T— tg 459 sen 0, —_ __ 2690 } COS 0, = It 0 1 + #g°1/,6, 141940, l'equazione diventa: (xp — x9) t8° DO — pie h0,—2mtg HO +ap — zo +dp=0 ed infine, per le posizioni dianzi fatte per g ed y essa si trasforma nella qig?:/,0, — 2 ig'-0 +e =0 che risolta fornisce il valore di ©, attraverso la 1). I passaggi e le operazioni successive sono già noti, e non necessitano di commento. L’indeterminazione dovuta al segno posto davanti al radicale, nella 1), sparisce co noscendo la posizione di S, sul terreno.