GIAN Piero LE DIVELEC Premessa
Il Prof. Bonifacino nelle note precedenti, che, presentate al VII convegno SIFET, dovevano essere pubblicate nel n. 3-1961 del Bollet tino, ha esposto alcuni problemi agevolmente risolvibili con la calco latrice e connessi in qualche modo alla intersezione inversa.
Il Geom. Francesco Albani nella nota successiva illustrerà detta gliatamente un modo d’impiegare la calcolatrice « Brunsviga 13Z Dupla » per la soluzione numerica della «intersezione inversa ».
Fra i sistemi per la determinazione dei punti trigonometrici di dettaglio, l'intersezione inversa, a motivo dell’espandersi della aerofoto grammetria, è divenuto il sistema più frequentemente usato. Esso con sente infatti, senza procedere a ricognizioni e segnalazioni preventive, la raccolta immediata delle misure sufficienti ad individuare la posi zione topografica di un punto scelto e riconosciuto sugli aerofoto erammi.
Il goniometro (teodolite o tacheometro) è posto in stazione sul punto da determinare: (P della fig. 1). Esso serve a rilevare le direzioni angolari (orizzontali e-o verticali) ad almeno tre punti di posizione nota (A, B c C della fig. 1). Il problema (1) sembra fosse noto ad Ipparco nel II secolo a. C. La prima soluzione pubblicata in epoca certa: 1617 è dello Snellius, un’altra soluzione fu fornita dal Collins nel 1671, la soluzione del Pothenot, che consenti anche a quest’ultimo di dare il suo nome al problema, è del 1692. Il problema appassionò e continua ad interessare gli studiosi di geometria teorica e pratica. (Vedansi le bibliografie del Bonifacino e l’elenco delle proprie pubbli cazioni sull'argomento fornito dall’Albani a chiusura della sua nota. Tale elenco lo inserisce senz'altro fra gli specialisti del problema).
Il Prof. Boaga (2) segnala l'interesse e la completezza dello studio pubblicato dal Prof. Diego Fellini nel XXXII volume degli Atti del l'accademia delle scienze di Torino. Il Prof. Bartorelli (3) riassume ed elenca studi che, vent'anni fa, avevano già fornito formule risolutive adatte per la macchina « Brunswiga 13Z Dupla». L’Ing. geog. Bencini dell.G.M. ha recentemente studiato un sistema di compensazione (quando i punti noti sono più di tre) adatto per le calcolatrici elettro niche. Anche se limitiamo le nostre considerazioni ad un ambiente
ristretto (quello dei topografi italiani), non è illecita l'affermazione; il problema è ancora di attualità. E di attualità perché la sua applica zione è sempre pit frequente, ma anche perché, al di là delle classiche costruzioni grafiche, quelle che oggi interessano sono le assai più sicure risoluzioni numeriche. Le quali risoluzioni numeriche si devono evol vere ed adattare alle caratteristiche degli strumenti di calcolo dispo nibili. Questi strumenti di calcolo sono passati dalle tavole dei logaritmi, alle calcolatrici elettroniche. dal pallottoliere alla calcolatrice elettrica, le formule devono adattarsi alle nuove possibilità e stare al passo con il nostro anelito di ridurre il tempo ed aumentare la precisione.
Lo scopo che io mi prefiggo con questa nota riepilogativa è di stimolare i lettori a mandare al nostro bollettino, come ha fatto 1 Al bani, quanto è a loro conoscenza sia dal punto di vista teorico, che da quello pratico sul problema dell’intersezione inversa. Sono certo che questo scambio di notizie sarà utile a tutti. — — À — —_ 1 — — ——_ N LINA S Ta , ” R ; + Kia INT "p [ 2° \ / ; DA a ZON! 4 ML |; Cc, Ja | A Î ‘ol \ Si N Le a \ NA i \ | er pt \ Î x Wi \ #” \ ! x N 4 \ I Sa, \ I x ; Su x Ì \ | Su \f-a i \ : = ° d+ LI NI b \ /\ N G5- 7 e NS RE ; o AN i! n» / Î ee 1 x PAN 277 Ca 91) A Re ò V| Z I \ 4 IN ei | NUO \ Y ANO da Ss vs = \ TRI l _ 2É
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1. Considerazioni geometriche. 1.1. La posizione di P (fig. 1) è definita, con gli elementi noti, come: «il punto, che vede ad un tempo due noti segmenti sotto an goli noti». Per differenza fra le direzioni orizzontali misurate in cam pagna si calcolano gli angoli « e 8. Il luogo geometrico dei punti che vedono il segmento AB (BC) sotto un angolo « (8) è lungo due archi di cerchio (fig. 2) uguali e situati da bande opposte del segmento AB (BC). Purché ABC e P non appartengano allo stesso cerchio, i due luoghi geometrici si intersecano nel punto B e negli altri due punti P, e P., situati da bande opposte rispetto alla spezzata A BC. Fra i duc è generalmente possibile scegliere quello che risolve il problema, pur ché sia nota, grosso modo, la posizione relativa di P rispetto alla spez zata ABC. 1.2. Costruiti separatamente due grafici sovrapponibili per tra sparenza: quello dei punti noti e quello delle direzioni note concor renti in P, si faccia scorrere un grafico sull’altro finché ogni punto noto giaccia sulla direzione corrispondente ed il punto P si trovi dalla banda voluta. Il problema è cosî risolto graficamente per tentativi suc cessivi. 1.3. Utilizzando il compasso il problema è risolto con procedimento diretto purché si sia stabilita la posizione dei punti R, e R. della fig. 1 centri degli archi di cerchio APB e CPB. I cerchi saranno tracciati con apertura di compasso R,B e R,B rispettivamente. Per stabilire la posizione di R;(Rs) ricordiamo, per esempio, come:
A CÒ q SL & ZZZ ° Fig. 2 C
1.3.1. R;(R:) è l'incrocio della normale al mezzo di AB(BC) con la normale AR; (CR:) alla retta per A(C) che forma l'angolo «(8) con AB(BC) dalla banda opposta di P; 1.3.2. la normale alla retta che forma l'angolo «(8) forma l’an
TT T golo: VI (5 o) con il segmento AB(BC) dalla stessa banda di P. 1.3.3. R;(R.) è il punto di mezzo dell'ipotenusa del triangolo rettangolo in A(C) avente in B l'angolo: - 5 — a, ( 5 — 2) della stes sa banda di P. ecc. 1.4. Senza compasso il problema è risolto con procedimento di retto e l'uso di alcuni punti ausiliari. Le costruzioni più note sono: (fio. 1). 1.4.1. La costruzione del Cassini, nella quale i punti ausiliari (S, cd S,) sono i terzi vertici dei triangoli rettangoli in A e C, che hanno gli angoli nel vertice comune B pari rispettivamente a ( 5 — 2) e (3 — 3) P èil piede della normale da B ad SS. È evidente che S, ed S, appar tengono ai già ricordati archi di cerchio (1-3) perché AS.B=« e CS,B = 8 per costruzione. Anzi S, ed S, sono i punti diagonalmente opposti a B sui suddetti cerchi. Di conseguenza: BPS, = 3 e BP è normale ad S,5,. - 1.4.2. La costruzione del Collins, nella quale i punti ausiliari di Collins (C, e C3) sono i terzi vertici di triangoli simili costruiti sui segmenti AB e BC con angolo nel vertice comune (B) = — (a + 8) e rispettivamente nel vertice A=-8 e nel vertice C= a. Poiché AC,B = « e BCC = £ per costruzione, i punti C, e C, appartengono a1 consueti archi di cerchio. Il punto P è l’incrocio di CC; con AG,. Infatti: per la similitudine di ABC, e BC,C, AB : BC, = BC;: BC; di conseguenza i triangoli ABC, e CBC, che hanno gli angoli in B eguali (x +8 +y—x) e i lati adiacenti proporzionali, sono simili; ciò comporta che gli angoli BCQ; e Q, GP, per esempio, sono eguali, il che provoca, nei due triangoli opposti al vertice in Q,: CQ,B e Co Q,P_ CPQ,= QBC = 7 — (a + 8), e perciò anche questi trian goli sono simili; ma allora anche gli altri due triangoli opposti al ver tice in Q,: BO:P e CQ;C, sono simili perché hanno proporzionali i lati adiacenti all'angolo uguale di Q,. Tale similitudine comporta BPC = BC,C = 8, che insieme all'altra APC == — G.PQ, = a + B giustifica l'affermazione: «P è il punto d’incrocio fra AC, e CG, » perché APB = e CPB=8.
La costruzione di Collins non richiede necessariamente la ricerca dei due punti ausiliari. Quando sia stato costruito per esempio Ci e tracciata la C,C poiché, come abbiamo visto, i triangoli CBC e ABC, sono simili, sarà sufficiente tracciare da A la retta che forma con AB un angolo uguale a BCC e determinarne l’incontro con la CC per individuare P. 2. Richiami di soluzioni numeriche. 2.1. Calcolo logaritmico. — Un procedimento per il calcolo loga ritmico della posizione di P è schematizzato nel mod. 7 delle Istru zioni per le operazioni trigonometriche catastali (4) ed è descritto nei già citati trattati del Cicconetti (1) e del Boaga (2).
Si considerano soddisfacenti per il calcolo logaritmico le formule nelle quali si esprimono prodotti o quozienti, perché si trasformano in somme di logaritmi. Infatti se: c=a.b logc=loga+logb loga=logc+ cologd
Col simbolismo delle istruzioni catastali e seguendo la fig. 1 pongo 1 1 M= 3 (644) N= 5-4) È evidente o= M4N yé=M—_-N
Poiché la semisomma degli angoli interni del quadrilatero ABCP di cui sono noti gli angoli in P= (x + 8) cin B=yè pariax avremo: 1 2.1.1. M = TI — 2 (a + 9 | Y) d'altra parte, per il teorema dei seni applicato ai due triangoli adia centi APB e BPC si ha 21) sen © bsena 1 ST seng = asen8 — tangu dove u è un angolo ausiliario determinabile con gli ultimi due membri dell’eguaglianza 2.1.2.
Facendo il dividendo ed il componendo del primo ed ultimo ter mine della 2.1.2. si ha: seno + sen y 14 tangu seno — sengy — 1— tangu
e per note trasformazioni trigonometriche: cogne _ mett ene (5) 2 444-- “TT. — = tanel-, + tang N 1— tang -; tangw S\ 4 da cui: 2.1.3. tang N = tang M cotang (5; + .) . Con la 2.1.1. e la 2.1.3. si determinano M ed N ed in conseguenza 9 e ù. Con la conoscenza di questi angoli si possono determinare, applicando ancora il teorema dei seni, le lunghezze incognite dei lati: sen x sen< seni sen (4 Apa Sere ta) BP= a 2 OT cp SPS +A) sen & sen a sen 9 sen }
Gli angoli @ e V permettono di determinare gli azimut degli stessi lati, si potranno quindi calcolare le variazioni delle coordinate da ag giungere alle coordinate già note dell’altro estremo. Se, ad esempio, das è l'azimut della BA l’azimut della BP è 93 = 954 (a +9)—x
Np = Ng + BP cos3 Ep = Es + BP sen®
Il calcolo logaritmico è alquanto laborioso e lungo. 2.2. Calcolo con la costruzione del Cassini.
Per questo e per i successivi supponiamo che l'origine delle coordi nate sia passata in B. Fra il sistema cartografico (EN) ed il nuovo siste ma (en) sussistono le relazioni:
E=e+ E N=n4+ Ng TT poiché S,AB= SCB= 5; €s1 — Ca Ha, fsi — fa Ca AS =" AB AS © AB — AS, esi — Ca Nisi — Na cotg x = AB = — ne Csg —— Ce He Niso — Ie _ TT Ce CS © CB. CS, © CB _ CS __ Cs €c He — Hso cotgi = B3 n 77
e quindi le coordinate planimetriche dei punti ausiliari sono: \ €51 = la —fla cotga \ Cs9 = Ce + file cOtg B
Ils = Ha + ca cotga | its = Me— 60 cotg 3 l'azimut 9 della BP normale a SS, ed il complemento dell’azimut di SS, vale: 222. tang 9 __ flsi TI 1ls9 __ ts TI lp ll. Ilp 7 11s9 Esa — Csl Cep — €si Csg — €n
Con la valutazione di 9 le coordinate di P sono determinabili in due modi.
Con il sistema ideato da Schl&tzer (5) il quale, sostituendo nelle (2.2.2.) ad ep la sua espressione in funzione di np e di tang 9, dà le for mule risolutive: | fis + es, tang 9 Hso + es, tang 9 ip= —. ae ——F—-=-<°—_ 223 p= | 14 tang®9 14 tang?9 Î ep = lp tangòd
Oppure con il sistema più noto, forse perché descritto nelle istru zioni divulgate con la calcolatrice « Brunswiga 13Z dupla », che danno « . Tt P per intersezione da B con azimut ® e da S, con azimut (3 —») .
Le formule, che con la suddetta macchina consentono l’uso del l’eguagliamento (come verrà meglio chiarito dall’Albani), sono: 2.2.4, Ep = €s1 + Mis Cotang 3 — n» cotang ® = np tang 9 richiedono la lettura sulle tavole numeriche del valore della cotangente dal valore noto di tangente, ovvero il calcolo della cotangente di 9 dopo quello della tangente. 2.3. Calcolo con la costruzione di Collins.
La nota del Bartorelli (3) faceva cenno ad una soluzione che par tendo dalla determinazione di un punto di Collins determina P per intersezione da B e da C. Nella nota attuale dell’Albani si troveranno i dettagli per l’uso della calcolatrice doppia con questo metodo. Dalla fig. 1 si osserva che se l’azimut di AB e 848 noto, di conseguenza quello di AG, è ac, = Bas +8 e quello di BC, è 850, = 9us ++
applicando le formule d’intersezione si calcola le coordinate di C, con la 2.3.1. eci = Ila tang dec, = 4 — fla tang daci + Her tang daci © si può allora calcolare l’azimut della CC, con: Ce — Cc 2.3.2. tang deci = io = tl e l’azimut 3 della BP con la (2.3.3.) 9 = Sec, — 8 ed applicando di nuovo la formula dell’intersezione diretta da C e da B le coordinate di P Cp = flp tangd = ee — Ne tang dear + Hp tang dea 2.4. Calcolo col procedimento di Galkiewicz.
Nello studio più volte citato il Bartorelli (3) segnò le formule del Galkiewicz (6) che si dimostrano adatte per il calcolo con la maccchina normale e con le calcolatrici elettroniche. Fra l’altro questo procedi mento è usato dal nostro IGM (Mod. 597-T). Dalla fig. 1 si ricava che l'equazione della retta BP è e) = 1» tang® quella della retta AP è ea — cp = (Ha — ip) tang (9 — a) 24.1 quella della retta CP è e. — ep = (te — np) tang (9 +8)
Poiché: ____ tangd — tanga tang (9 — 2) = + tang Stang x tang è + tang 8 tang (9 +9) = 1— tang9 tang 8 le ultime due equazioni (2.4.1.) possono scriversi: (ca — ep) (1+ tang9 tange)= (m — np) (tang9 — tanga) (ce — ep) (1— tang9 tang 8) = (1 — n») (tang 9 + tang8) che per la prima: ep = 11» tang® divengono: ca(1-+ tang9 tanga)— ep tang 9 tanga=Ma(tang 9—tang a) {+-1p tanga ce(1-— tang 9 tang 8) + cy tang 9 tang 8=ne(tang 9 + tang 8) — 1» tang8
sommando alla prima moltiplicata per cotang « la seconda moltiplicata per cotang 8 si ha: e, cotang x + es cotang 3 + (fa — tie) tangî = — ——_—___—______-___ 2.4.2. Ila cotang « + tte cotang 8 + (ee — ca) la conoscenza di 9 consente di calcolare tang (9 — a) e tang (9 + £) e quindi sostituendo l'espressione di e» della prima nella 2* e nella 3° delle (2.4.1.) si calcola in doppio modo 243 Ca — lla tang (9 — a) ce — tte tang (9 + B) 43. ipa e TA ” — tang9 — tang (9 — a) tang 9 — tang (9 + B) e con la conoscenza di 9, 9 — a, 8 + 8 e np con le (2.4.1.) si ha modo di calcolare ep. 3. Procedimenti di compensazione. È buona consuetudine che alla determinazione della posizione di P concorrano misure in quantità sovrabbondante rispetto alle indispen sabili. Le già ricordate istruzioni catastali (4) stabiliscono per esempio al par. 13: «L'uso della intersezione inversa è ammesso in via eccezio nale sempre che vengano assunti quattro punti di appoggio ‘opportu namente disposti per una buona determinazione ». A motivo degli inevitabili errori di misura le misure sovrabbondanti, se utilizzate tutte, danno molteplici posizioni del punto da determinare. Se gli scosta menti fra le varie posizioni sono ammissibili converrà scegliere come posizione compensata del punto, cioè come posizione più probabile una posizione intermedia fra le determinate. La scelta sarà fatta con criterio. Si tratta di adottare il «procedimento di compensazione » più con veniente. 3.1. Nel caso di risoluzione grafica del problema (fig. 1) il punto compensato potrebbe essere il baricentro fra le varie soluzioni trovate. Baricentro che in pratica viene stabilito ad occhio. 3.2. Il procedimento di compensazione conveniente per la risolu zione numerica logaritmica (2.1.) è quello schematico nel Mod. 7a delle istruzioni catastali (4) e descritto dal Boaga (2). Le equazioni che servirono per il calcolo (2.1.1. e 2.1.2.) possono essere scritte cosi: ( a+B+vyvto+y= 27 3.2.1. ‘ “aq sen seno 1 | bsenaseng o
«eBsono le misure affette da errori —xa e — x8. e e 4 sono elementi dedotti dai procedimenti che subiscono, se « e 8 sono corrette deiloro errori, correzioni x9 e xù, se ta, £8, tp, tù sono le differenze tabulari dei logaritmi dei vari seni dalle 3.2.1. si ha xo + xd = — (xa + x8) to xo — tù xù = fa xa — 18 x8 ta — tù t0 +4 ty xo =; e xa —T°;— xB = 1 xa + 1 x8 | "+ fp n Lio *° ua 3.2.2. ta + to t9 — to Xu = — °° xa + Ger xB = n xa + 1x | "Oo ig Tnaf Applicando il teorema dei seni al quadrilatero PBCD si ha l’equa zione di condizione: 393 bsen (8 +%) sens I a csen senle +3 —W) invece: (posto: y=B+% e è =e+38—4) bsen(B+%)sene poiché xy = xB+xd = mxa + (n+ 1) x8 xò = xe — xù = — Inxa — n1xB + xe dalla (4.2.4.) si ottiene: ty [mxa + (n + 1)xB] + te we — 18 xB — td (xe — mxa — nx8) = A e quindi posti: ta + fo te — to Mm=—TtTtTt— n= pat +68 q=t/—th r= te td H+ t9 pio P_OTTO den Td a, = pii a=g9+ pu ag = A I=TC:1X gi A° + d2° + 4 si hanno le soluzioni che soddisfano le condizioni dei minimi errori quadratici: | xa= + a; I x8B= + dal xe= + asl
3. 3. Un procedimento di compensazione empirico assai frequen temente adoperato nei calcoli che forniscono le coordinate del punto in cognito consiste nello scegliere come coordinate definitive quelle medie di tutte le calcolate che non si scostano, oltre certi limiti, dalla media. 3.4. Un altro procedimento di compensazione che si adatta nel l’ultimo caso e che è particolarmente idoneo quando si impieghi la cal colatrice elettronica è quello della « alterazione delle coordinate ». Sup poniamo di aver determinato col quadrilatero ABCP i valori ep ip delle coordinate di PD: dalla 2.4.1. si ha: | ep COSÌ — Hip send = O 34.1. (ea — ep) cos (9 — a) — (ita — 9) sen (9 — a)= O (ee — ep) cos (9 + B) — (11 — ip) sen (9 +8) = O e si dispone di una osservazione sovrabbondante a D poiché l’azimut di DPè 3 +8 + e dovrà essere: (da — ep) cos(® +B8+ e) — (Ma — 12) sen (9 +B+e)=0O a motivo degli errori di osservazione invece esso sarà diverso da O ed uguale a-—A apportando una correzione xe e x» alle coordinate lp ed np avremo Xe COSÌ — Xx send = Vv, xe cos (9 — a) — xn sen (9 — a)= xe cos (9 +8) — x, sen(9+B)= xe cos (9 +84 e) — xn sen (9 +B+e)+A=w perché v,® + v3* + v3? + 14? = minimo dovrebbe essere 342 xe [cost] — xx [sen - cos] = —A cos(9 +8 + e) ea — xe [sen- cos] + xx [sen] = A sen(9 + B+ e) sen (9 + 8 + e) [sen - cos] — cos (9 + B + e) [sen?] ve = A I \ [sen?] [cos®] — [sen - cos]? 3.4.3. sen (9 + B + e) [cos] — cos (9 + p + e) [sen - cos] Xn — A a TETRA Si © 13 SAD DOTT [sen] [cos®] — [sen - cos] e se i punti sono pit di quattro le 3.4.2. divengono: 344 xe [cos] — xx {sen - cos] = — [A cos (8 + 8 + e)] di — xe [sen - cos] + xx [sen?] = [A sen (9 +8 + e)] e le 3.4.3. variano in conseguenza.