Prof. Ing. CLEMENTE BONFIGLI Comunicazione presentata al X Convegno Nazionale SIFET Vaiese, aprile 1965
La macchina calcolatrice ha già trovato impiego da tempo nella risoluzione dei problemi di topografia, rivelandosi un prezioso ausilio per il calcolatore, ma il suo costo piuttosto notevole ne ha finora limitato la diffusione a pochi Istituti uni vetsitari o ad Enti specializzati. Oggi, invece, in virtà delle semplificazioni costrut tive e della produzione in serie, la calcolatrice è diventata accessibile da parte di ogni tecnico professionista il quale, per le eccellenti prestazioni della macchina, rie sce rapidamente ad ammortizzarne il costo.
L'impiego della macchina calcolatrice in topografia ha anche richiesto che le formule risolutive dei vari problemi fossero opportunamente trasformate per ren dere più agevole e rapido il loro calcolo meccanico.
In quello che segue saranno date, per i vari problemi di planimetria, delle formule che si sono dedotte da quelle trovate in altra occasione ! e, per il loro cal colo, sarà indicato un metodo operativo che, con la macchina ad uno o due tota lizzatori, consente di compiere su di essa il minor numero possibile di operazioni. INTERSEZIONE IN AVANTI Problema. Note le coordinate cartesiane Xi, Yi e X2, Ya di due punti Ai e Ax e gli angoli Az Ai P = ai e PA: Ai = ar che forma il lato Ax A; con le direzioni ad un terzo punto P negli estremi Ax e Az, essendo la successione dei vertici A\A-P in senso orario, trovare le coordinate X, Y di P.
Chiamando Ax=X.—X1, Ay=Y2— Yi, ci=cot a1, ca=cot a, c=c1+c2, si sono trovate le formule seguenti, di cui le prime servono per il calcolo di X e di Y e una delle altre coppie per il controllo. ciX2+ c2X1 +Ày Cc X+cAx+Ay C Xo- A+ Ay Xx —T—_— _— —xz_°"____——r— — —— mm c c c (1) ciYa+c2Yi— Ax cYit+oaAy— Ax cYa-CAy- Ax Va ——— = —".—__——. c c c 1 C. BonFIGLI - « Trigonometrtia piana », appendice alla 2* ediz. 1946 e riportate anche nel < Trattato, fi topografia », vol. 1°, di C. BonrigLi e L. Soraini, Le Monnier, Firenze, 7° edi
Nei calcoli si tenga presente che è largamente sufficiente l’approssimazione del risultato al mm, ossia alla terza decimale, e perciò, prendendo il divisore con cin que decimali, occorrerà che i prodotti e gli addendi abbiano otto decimali, per cui le lunghezze che sono a fattore vanno scritte fino a tre decimali e quelle in addendo con otto decimali.
Esempio Dati: X} = + 156,30 m X>= — 155,14m ou = 60°52°00” Yi = + 179,35 m Y,= + 234,270 m ou = 49°20°35” Dalle tavole: cr=0,55 736, 0=0,85 881, c=1,41 617, Ax= — 311,44 m, Ay= + 54,85 m. Calcolo di X
Leva del totale automatico e del riporto automatico non inserite !. Impostare ci e premere X 557360 <
Si tenga presente che se il risultato è negativo la macchina non esegue l’ope razione di divisione; conviene pertanto, prima di eseguire questa, osservare il ri sultato dei calcoli precedenti premendo O (che non scarica): se questo è positivo si procede come si è detto sopra, altrimenti si preme il tasto IM e * nero, indi M poi D, si inserisce la leva del totale automatico, si imposta il divisore e si preme = ottenendo il risultato richiesto, al quale bisogna apporre il segno negativo.
Analogamente si procede per il calcolo di Y e per il controllo di X e Y, con .una delle altre formule. 1 I calcoli sono stati eseguiti con macchina elettrica tipo « Divisumma » e « Te tractys »; in corsivo sono indicati i risultati delle operazioni che la macchina scrive in rosso.
dopo aver innestato la leva del totale autom., ottenendo il valore di k con tre de cimali. Se invece il denominatore è negativo la macchina non opera: si prema IM e poi *, indi M poi D, si imposti il denominatore e, dopo aver innestato la leva del totale automatico, si prema = ottenendo il risultato richiesto, al quale biso gna apporre il segno negativo. Secondo valore di k (controllo) Con la leva del totale automatico disinserita, impostare (14+c:t) fino a 6 dec. e premere X 1161440 <
impostare X fino a 3 dec. e premere — (0 +) 58400 <— » —X; fino a 3 dec. e premere + (0 —) 263220 <+ premere IM poi * nero (il risultato va a fattore) 204820 < Tx impostare Y fino a 2 dec. e premere = rosso (0 nero) 6100 X » —Yy fino a 2 dec. e premere = rosso (o nero) 1572 X premere contemporaneamente * nero e + verde 1571379040 c+ T impostare Y fino a 3 dec. e premete — (o +) 61000 <— » —Y, fino a 3 dec. e premere + (0 —) 291200 <+ premere IM poi * nero 230200 < Tx impostare Xy e premere = rosso (o nero) 36012 _X » —X e premere = nero (o rosso) 5840 = premere contemporaneamente * nero e + verde 6945594400 c+ T premere * verde e si ha il denominatore con 5 dec. 8516973440 c*<
b) quando il risultato di somme algebriche deve essere diviso per un numero occotre accertarsi che il primo non sia negativo perché la macchina direttamente non opera la divisione; pertanto si preme O in modo da osservare detto risul tato senza scaricarlo: nel caso che sia positivo si imposta il divisore e si preme =, se invece è negativo si preme IM, poi *, indi M poi D, dopo di che si imposta il divisore e si ricava il risultato premendo =. Alla fine dell’operazione di divisione scaricare il resto premendo *, perché non è conveniente inserire la leva del totale automatico nel timore che rimanga innestata nelle operazioni successive. Leve disinserite. Calcolo di Xn Calcolo di Yn 48534 <
Nota. Quello che, sopra, è scritto fra parentesi rappresenta l’altro caso del se gno diverso dall’addendo o del prodotto. Calcolo di Y 2° Calcolo di X 2° Calcolo di Y 557360 <
Il controllo dei calcoli si può avere determinando £ anche con la seconda for mula (con ciò si controlla anche ?). Anzi, verificato che i due valori, se non coin cidono, differiscono entro i limiti dell’approssimazione richiesta, per cui essi possono essere accettati, il valore più probabile di £ si ha dalla loro media.
Usando la macchina calcolatrice con due totalizzatori, è facile eseguire anche un controllo indipendente da 4, applicando la seguente formula di facile dimo strazione: (Y_ Yi)(Y- Yo +(X — X)(X— Xo) fo s E ___—_—.>rPrcTrTY (5) (X — Xi)(Y — Yo) + (Y — Yi)(Xo — X) che deve dare c; noto. Esempio di calcolo con la macchina del problema di Snellius Noti: Xx = — 263,22m; Xo = — 360,12m; XM= — 155,14m on = 62° 36°21” Xi = — 291,20m; Yo = + 15,72m; Ya= + 234,20m a2= 57° 35°21” Calcolo del denominatore di t. Dalle tavole: ci = 0,51 822; co. = 0,63 489. Disinserita la leva del totale automatico e quella del riporto, impostare Y. fino a 8 dec. e premere + (o —) 23420000000 < + » Yi fino a 8 dec. e premere + (o —) 29120000000 < + » ci fino a 6 dec. e premere X 518220 <
Si osserva il totale S premendo O e se questo è positivo si imposta il denomi natore calcolato prima e si preme == ottenendo il quoziente # con tre dec.
Se invece il denominatore è negativo la macchina non opera: si preme IM e *, indi M e D, si inserisce la leva del totale automatico, si imposta il denominatore e si preme =.
Nota. Quello che, sopra, è scritto fra parentesi indica l’altro caso del segno diverso dell’addendo o del prodotto.
Calcolo di k in doppio modo (controllo)
La macchina a due totalizzatori ci darebbe la possibilità di calcolare numera tore e denominatore di k, ciascuno chiedendo una sola volta il totale, ma anche per questa non risulta conveniente tale modo di procedere che richiederebbe moltipli cazioni di tre fattori con cinque cifre ciascuno e quindi con risultato al di fuori della capacità normale della macchina. È conveniente, allora, procedere al calcolo separato di 1 + t? = 1,06466; 1—cit=0,868227; 1+ct=1,16144; c+t=0,77250; c:-t=0,38061; che si ese gue col seguente schema: si inserisce la leva del totale automatico, si imposta 1 se guito da dieci zeri e si preme +, si inserisce la leva del ripete e si imposta t, si preme X indi ancora = e si ha il totale 1+t° (t è rimasto in memoria). Si imposta 1 seguito da dieci zeri e si preme +, si imposta ci e si preme = rosso (o nero) e si ha il totale 1—c; t; si imposta 1 seguito da dieci zeri e si preme +, si imposta c2 e si preme = nero (o rosso) e si ha il totale 1+c; t. Le somme cr+t e co—-t si eseguono facilmente 10000000000 < + 10000000000 <+ 25428 <
Calcolo del nuzzeratore e del valore ci. Leva tot. autom. disinserita. impostare Y fino a 3 dec. e premere — (0 +) 61000 <— » Yi fino a 3 dec. e premere + (o —) 291200 <+ premere IM poi * nero 230200 < Tx impostare Y fino a 2 dec. e premere = rosso ( o nero) 6100 x » Yo fino a 2 dec. e premere = tosso (0 nero) 1572 XxX premere contemporaneamente * nero e + verde 1766094400 c+ T impostare X fino a 3 dec. e premere — (o +) 58400 <— » X; fino a 3 dec. e premere + (o —) 263220 <+ premere IM poi * nero 204820 < Tx impostare X fino a 2 dec. e premere = rosso (o nero) 5840 X » Xo fino a 2 dec. e premete = nero (0 rosso) 36012 = premere contemporaneamente * nero e + verde 6179829040 + T premere O verde e si ha il numeratore con 5 dec.; 4413734640 * + 4413734640 < : 85170 <:: 51822 « T
Se questo è positivo premere contemporaneamente * verde e + nero, indi impostare il denominatore arrotondato alle unità e premere = ottenendo ci che deve risultare uguale a quello dato.
Se invece il denominatore è negativo la macchina non opera: si prema IM e poi *, indi M poi D, si imposti il denominatore e, dopo aver innestato la leva del totale automatico, si prema —, ottenendo il risultato richiesto, al quale bisogna apporre il segno negativo.
PROBLEMA DI HANSEN
Note le coordinate Xi, Y1, X2, Y» di due punti A: e A: e gli angoli a: e Bi mi surati in un punto P’ fra P’ P” e le direzioni ad A; ed Az, a: e B: misurati in P” fra P” P’ e A; ed Az, calcolare le coordinate di P’ e P”.
Riprendendo le nostre formule, di cui alla nota (1), e posto ar =cot di, 22= — COT 2, ss=a+bi, Ci= CO (Bian), Ax=X— XK bi= — cof Bi, b:=cot Ba, s.=a2.+ bo, Ca = CO (c2— Ba), Ay=Ya- Yi si calcolino le espressioni: si Xi + br Ax + 4y s2 Xi + b2 Ax + Ay Ki, —_ XxX. ——___——_—_____ S1 S2 SÌ Yi _ Àx + bi A; S2 YI _ À, + bi Ày VA 2 ———_—_____________ Yn i —_TPT_——__—_ _e—«<_ SI S2 Yo Yn u=X+X+ ciA4y . uo = X1+X2+ c2A4y t=a- — T_-; Xx, —- Xx}, vv= Yi+Y2- ci Ax va= Yit Ya 2A (2Yn-vwt-2X+u (2Y”nt w)t- 2Xn+ u2 ki Zi ee e ee eee] eremo ko) TI —T —____—__—_—_.r_ | 14 t 1+t Ca Ot Xx = Xn + ka: Yv_Y Controllo: —_———_— =.-t Y=Ynt tki Y=-Y, tk XK” — X° Esempio di calcolo con la macchina del problema di Hansen Dati: Xx = + 185,25 m; X> = + 127,36 m; a, = 58°39°01”; a. = 94°11°00” Yi = — 261,78 m; Ya = — 190,10 m; Bi = 82°56°22”; B, = 6692951” Posto: aa = + cota;= + 0,60 920; d2= — COTM: = + 0,07 314; A-=Xx—X= — 57,89 mM; bi= — cothi= — 0,12 386; b.= + cotB.= +0,43 486; Ay=Y2- Yi= + 71,68 m si=+0,48534; s.= +0,50800; ci=cot (Bi 0;) = 2,21 587; cot(a: — 8.) = 1,90 587; si calcolano i valori di X'n Y°n, X”n, Y”n, dalle formule precedenti secondo il pro cedimento pratico indicato nel problema di Snellius: d’altronde i simboli di mac china guidano nelle operazioni; c'è solo da osservare che: a) nelle somme di prodotti con addendi occorre che le cifre, dopo la virgola, prendendo i coefficienti con cinque decimali e il fattore per cui questi si moltipli cano con tre decimali, scrivere gli addendi con otto decimali; la necessità dei molti decimali deriva anche dall’opportunità che il risultato della successiva divisione abbia un numero di cifre sufficiente: esso si legge con tre decimali;