Attilio Selvini 1.1 — Nelle precedenti lezioni è stato detto come le misure di una gran dezza, siano ritenute ad ogni effetto delle « estrazioni a caso» dalla popola zione di tutte le misure possibili di quella determinata grandezza.
E’ giusto quindi trattare una serie di misure della stessa grandezza, come « variabili casuali », descrivendole perciò attraverso quegli indici significativi che sono la media e lo scarto quadratico medio. Ricorderò che si tratterà di indici « empirici », scostati da quelli teorici, per esser stata esaminata solo una parte, della popolazione di tutte le misure possibili. Perciò poi si calcolerà lo « scarto quadratico medio della media », cioè quello che si può pensare co me lo scostamento medio della media empirica, dalla media teorica.
L'esercizio che segue, indica il modo di procedere. I dati delle osservazioni, gli scarti, i loro quadrati, sono raccolti in una tabella che è molto utile per una razionale disposizione e per la successiva esecuzione dei calcoli. 1.2 — Di una distanza fra due punti si sono eseguite 10 misure di uguale precisione. Calcolare il valore più probabile della distanza (media aritmetica), l'errore quadratico medio di ciascuna misura (ossia della variabile casuale da cui tutte le dieci misure sono state estratte a caso) e l’errore medio della media aritmetica già calcolata.
No ] TTT eeett%; _——_—____—__. O. Vi | v;? 1 155,43 m TTT 2 45 3 1 1 3 42 5 1 1 4 46 2 —2 4 5 44 6 2 4 6 41 4 0 0 7 43 1 3 9 8 AT 3 1 1 9 44 î 3 9 10 ,45 4 0 0 _ 5 1 1 [o;] = 40 | [vw] = 0 | [v?] = 30 Come si vede, la somma degli scarti è nulla: [vw] = 0 La media è perciò data da: [0,] 40 | M/= — = — 4 n 10 63
lo scarto quadratico medio empirico è fornito dalla seguente espressione: [v;?] 30 n-l 9 mentre lo scostamento medio della media empirica da quella teorica si calcola come segue: my 1,82 my = + ———— =z"-2z —— = ="© 0,6 n 3,16
La distanza misurata, dopo la elaborazione dei dati come fatto sopra, ver ra scritta: 1 = 15544 + 0,006 m 21 — Quando si è in presenza di più valori di una certa quantità, ottenuti per vie diverse (diversi operatori, diversi strumenti, diverse situazioni am bientali, eccetera) non è più lecito considerare tali valori come estrazioni a caso dalla stessa popolazione. Non ha più senso, pertanto, ricorrere alla media arit metica semplice ed agli altri indici connessi, per descrivere la distribuzione di una popolazione che non è più unica. Come è stato detto nelle precedenti con ferenze, è allora necessario far ricorso alla « media ponderata ». Sul signifi cato dei pesi e sulle rappresentazioni fisiche che se ne possono dare non insi sto, perché credo che si tratti di questione già chiarita. Invece, attraverso gli esempî numerici che seguono, vorrei ribadire per bene le modalità che guidano la scelta di talì « pesi ». 2.2 — La quota del vertice A è stata misurata partendo da 4 vertici di quota nota A, A, A, A, di-cui sono anche note le distanze da A. Il metodo di misura adottato permette di stabilire che i pesi dei dislivelli misurati sono in versamente proporzionali ai quadrati di tali distanze.
Calcolare il valore più probabile della quota di A ed il suo errore medio. q = 251,18 m 251,15 m 251,23 m 251,28 m d= 16 km 21 km 29 km 34 km
In questo caso, come del resto nei seguenti tenendo conto che la scelta dei pesi dipende da una costante arbitraria, useremo l’accorgimento di attribuire peso « uno » alla osservazione meno « precisa », in questo esempio alla quota determinata da maggior distanza. In tal modo, tutte le altre osservazioni avranno peso maggiore di uno; il che può — talvolta — semplificare i calcoli. Però sia chiaro: la scelta dipende da una costante arbitraria; infatti si sa rebbe potuto seguire il processo inverso, ponendo uguale ad « uno » il peso della osservazione più « precisa »: i risultati non sarebbero mutati.
Anche qui sì ricorrerà ad una tabellina, per ordinare lo svolgimento dei cal. coli e facilitarlo. 2.2.1 — Scelta dei pesi: tenendo conto di quanto detto sopra, sarà: 3,42 p, = L p3 = ——— _ = 1,37 ve 2,92 3,4? 3,42 Do _ — 2,62; Di = —_TT-— 3 4,51 2,1? 1,62 64
2.22 — I calcoli si svolgeranno per il tramite della tabella sottostante: 9; Di 9;Pi Vi vi Vip; VP; 23 1,37 31,52 4,1 16,81 5,62 23,03 28 1 28,00 9,1 82,81 9,10 82,81 9,50 180,00 0,44 { 149,94 | Il controllo, che vuole [v,p;] = 0, è soddisfacente; il piccolo residuo (0,44) è dovuto all’approssimazione del calcolo. 2.23 — Coi valori ottenuti dalla tabellina, si ha: [o; Pi] 180,00 M, = —_ = — = 189 [pi] 9,50 si calcola poi l'errore quadratico medio dell'unità di peso: [v;? pil 149,94 mi? = ————— = ——— = 49,98 n-1 3 infine, l'errore medio della media ponderata risulta pari a: m'’ 7,06 mMwp = È — = £ — = £ 2,3 [p.]"° 3,08 La quota più probabile del vertice A, sarà perciò: Qi, = 251,18, + 0,02. metri 2.3 — L'ampiezza di un angolo è stata misurata da 5 osservatori diversi. Si è potuto stabilire a priori quale errore medio attribuire alla misura fatta da cia scuno dei cinque osservatori. Determinare il valore più probabile dell’ampiezza dell'angolo ed il suo errore medio. N 0 m' 1 156°13’17,7” 2,0” 2 169 10 3 17,5. 15 4 13,0 12 5 17,1 14 65
Dato che sono già noti gli errori medi, anche la scelta dei pesi sarà facile: basterà ricordare, come essi siano inversamente proporzionali ai quadrati dei singolierrori medi.4 4231 — Pi = 1; pa 3 ——_ = 4; pi = ——_—_ = 1,781 2,254 4pi 3 —— = 2,117; psi = —— = 2,041,44 1,962.3.2 — Con l'ausilio della tabellina, si avranno i seguenti elementi:O; Pi Oi Pi Vi Vi Vi Di Vi pi1,1 1 7,10 0,34 0,12 0,34 0,126,9 4 27,60 —_0,46 0,21 — 1,34 0,347,5 1,78 13,35 0,14 0,10 0,25 0,188,0 VIZI 22,16 0,64 0,41 1,77 1,137,1 2,04 14,48 —0,26 0,68 —_0,53 1,3911,59 85,29 —_0,01 3,66Anche qui, il solito controllo dà: [v; pi] = —0,01. Si ha poi:85,29233 — My = —— = 7,3611,59L'errore quadratico dell'unità di peso risulta essere:3,66mi = ——€ = 0914e quindi l'errore medio vale:0,95Mep = £ —__— € 6 = * 028.3,40Pertanto, l'angolo misurato si scriverà, come valore più probabile:O = 156°%13’17”,36 + 0",2824 — È per ultimo, siamo in presenza di tre serie di misure dello stessoangolo:di uno stesso angolo si sono eseguite tre serie di misure A, B, C con diversemodalità, e quindi con diversa precisione. Nell’ambito di una stessa serie sipuò invece supporre che le varie misure abbiano la stessa precisione.Calcolare, per ciascuna serie, il valore medio, l'errore quadratico medio diuna misura, l'errore medio della media (vedi esercizio n. 1).Si usino poi i valori medi M', Ms’, Mc come osservazioni di peso diverso:66
239 220,86 Mg = — = 239 m°wg = — — = 2,45 10 10.9 128 41,20 Mo = —TfT— = 25,6 Mc = e eee e gg = 2,06 5 4, 5 24.2 — I pesi saranno scelti proporzionaimente all'inverso degli e.g.m. delle tre serie di misure, come al n° 2.3.1: 2,45 2,45 Ps = 1; Pa 3 7 _— E 5,69; po = — — = 1,19 0,43 2,06 24.3 — La media ponderata delle tre medie Mw, My’, Mc' si calcolerà al solito modo, con la tabella sottostante. i Oi Di O;Pi v, Vi ViPi Vi'pi 44 5,69 25,04 —0,12 0,014 —0,68 0,080 39 | 1 3,90. | —0,62 | 0,384 —_0,62 0,384 5,6 1,19 6,66 1,08 1,166 1,29 1,387 7,88 | 35,60 —_0,01 1,851 244 _ Dopo il consueto controllo che fornisce [p;] = —0,01, si ha: 35,60 My = —— = "4,52 7,88 L’errore q.m. dell'unità di peso è: 1,851 mu = ——————€ = "0,925 ed infine l'errore medio della media ponderata: 0,96 Mwp = È —— _ = £ 0,35 | 2,80 o Allora, l'angolo avrà come valore più probabile: | Q = 87°12°24”,52 + 0,35 3.1. — Spero che questi esempi, invero assai semplici ma riflettenti casì concreti in cui il topografo può imbattersi per le esigenze stesse della sua professione siano stati sufficienti — in unione alle lezioni teoriche precedenti — a far capire come si debba correttamente operare quando si elaborano le gran dezze misurate, se si vuole utilizzare in modo razionale gli strumenti di cui si dispone. n 68